OdyDasa

Biar otak gak beku karena rutinitas, mari kita mencoba me-review kembali aritmatika.
Di bawah ini adalah beberapa persamaan yang bisa digunakan untuk perhitungan perkalian dua buah bilangan (atau kuadrat, jika kedua bilangan adalah sama), yang besarnya di bawah 100.

1. Persamaan Perkalian Dua Bilangan #1:
   Ada dua bilangan dengan angka puluhan yang sama (misalkan ada angka 23, maka puluhan=2, satuan=3) yang dikalikan. Misalkan keduanya memiliki angka angka puluhan “a”, serta “b” dan “c” untuk satuannya, sehingga bilangan pertama adalah “(a+b)” serta bilangan kedua adalah “(a+c)”.a+b)*(a+c)
   = a*a + a*b + a*c + b*c
   = a*(a+b+c) + b*c
   = ( (a+b) + c ) * a + b*c
   
   Dari persamaan pertama ini, maka “(a+b)” adalah bilangan pertama ditambah dengan “c” sebagai satuan bilangan kedua, dikalikan “a” sebagai puluhannya, kemudian ditambah dengan perkalian kedua satuan (“b*c”).

   Misalkan ada angka 22 dan 27 (a=20, b=2, c=7, a+b=22):

   22*27 = (22 + 7) * 20 + 2*7 = 29*20 + 14 = 580 + 14 = 594

   Perhatikan angka puluhannya, itu digunakan sebagai pengali
   12*13 = (12+3)*10 + 6 = 15*10 + 6 = 150 + 6 = 156
   18*17 = (18+7)*10 + 56 = 25*10 + 56 = 300 + 56 = 306
   22*23 = (22+3)*20 + 6 = 25*20 + 6 = 500 + 6 = 506
   32*33 = (32+3)*30 + 6 = 35*30 + 6 = 1.050 + 6 = 1.056
   52*53 = (52+3)*50 + 6 = 55*50 + 6 = 2.750 + 6 = 2.756
   98*97 = (98+7)*90 + 56 = 105*90 + 56 = 9.450 + 56 = 9.506
   
   Rumit?
   Persamaan itu akan sangat bermanfaat untuk angka belasan.
   Misalkan perkalian antara 12 dan 17

   12*17 = (12+7) * 10 + 2*7 = 19*10 + 14 = 190 + 14 = 204

2. Persamaan Perkalian Dua Bilangan #2:
   Sekarang, misalkan kedua bilangan disimbolkan dengan “(a-b)” dan “(a-c)”, maka misalkan ada bilangan 18, berarti (20-2), atau “(a-b)” dengan “a=20″ dan “b=2″.(a-b)*(a-c)
   = a*a – a*c – a*b + b*c
   = a*(a-b-c) + b*c
   = ( (a-b) – c ) * a + b*c
   
   Dari persamaan kedua, maka “(a-b)” adalah bilangan pertama dikurangi dengan “c” sebagai satuan bilangan kedua, dikalikan “a” sebagai puluhannya, kemudian ditambah dengan perkalian kedua satuan (“b*c”).

   Misalkan ada angka 22 dan 27, dengan 22=30-8 dan 27=30-3 (a=30, b=8, c=3, a-b=22):

   22*27 = (22 – 3)*30 + 8*3 = 19*30 + 21 = 570 + 24 = 594

   Hasilnya sama dengan hasil perhitungan dengan persamaan pertama
   Rumit?
   Persamaan itu akan sangat bermanfaat untuk angka yang mendekati angka 100.
   Misalkan perkalian antara 92 dan 97 (di sini angka puluhan di atasnya adalah 100)

   92*97 = (100-8)*(100-3) = (92-3)*100 + 8*3 = 89*100 + 24 = 8.900 + 24 = 8.924
   

3. Persamaan Kuadrat Suatu Bilangan
   Sekarang, jika kedua bilangan yang dikalikan adalah sama, dengan kata lain menghitung kuadrat suatu bilangan:(a+b)*(a+b)
   = ( (a+b) + b ) * a + b*b
   
   Dari persamaan ketiga ini, maka sebagai bilangan yang hendak dikuadratkan, “(a+b)” ditambah dengan “b” sebagai satuannya, dikalikan “a” sebagai puluhannya, kemudian ditambah dengan kuadrat satuannya (“b*b”).

   Misalkan angka 27 hendak dikuadratkan (a=20, b=7):

   27*27 = (27 + 7) * 20 + 7*7 = 34*20 + 49 = 680 + 49 = 729  

    

   Jika diterapkan di angka yang lain:
   17^2 = (17 + 7) * 10 + 7^2 = 24*10 + 49 = 240 + 49 = 289
   34^2 = (34 + 4) * 30 + 4^2 = 38*30 + 16 = 1.140 + 16 = 1.156
   61^2 = (61 + 1) * 60 + 1^2 = 62*60 + 1 = 3.720 + 1 = 3.721
   99^2 = (99 + 9) * 90 + 9^2 = 108*90 + 81 = 9.720 + 81 = 9.801
   
   Atau jika hendak mengembangkan penggunaan persamaan yang kedua:

   (a-b)(a-b)
   = ( (a-b) – b ) * a + b*b
   
   Dari persamaan keempat ini, maka sebagai bilangan yang hendak dikuadratkan, “(a-b)” dikurangi dengan “b” sebagai satuannya, dikalikan “a” sebagai puluhannya, kemudian ditambah dengan kuadrat satuannya (“b*b”).

   Misalkan angka 27 hendak dikuadratkan (a=30, b=3):

   27*27 = (27 – 3) * 30 + 3*3 = 24*30 + 9 = 720 + 9 = 729
   
   Pilihan penggunaan dan pengembangan antara rumus pertama dan kedua dapat dipertimbangkan berdasar kerumitan angkanya. Misalkan dengan angka belasan akan lebih sederhana menggunakan pengembangan persamaan pertama (persamaan ketiga), sedangkan jika mendekati 100 akan lebih sederhana menggunakan pengembangan persamaan kedua (persamaan keempat).

   17^2 = (17 + 7) * 10 + 7^2 = 24*10 + 49 = 240 + 49 = 289
   99^2 = (99 – 1) * 100 + 1^2 = 98*100 + 1 = 9.800 + 1 = 9.801
   

4. Persamaan Kuadra Bilangan Bersatuan “5″:
   Untuk bilangan yang memiliki satuan “5″, misalkan “15″ dan “95″, maka persamaan ketiga dapat dikembangkan persamaan berikut:
   
   (a+b)*(a+b)
   = ( (a+b) + b ) * a + b*b
   = a * ( a + b + b) + b*b ; b = 5
   = a * ( a + 5 + 5) + 5*5
   = a * ( a + 10) + 25  

    

   Dari persamaan kelima ini, maka puluhan bilangan tersebut dikalikan dengan puluhan yang ditambah dengan 10, atau “a*(a+10)”, kemudian ditambah 25.

   Atau jika hendak mengembangkan dari persamaan keempat,

   (a-b)*(a-b)
   = ( (a-b) – b ) * a + b*b
   = a * ( a – b – b) + b*b ; b = 5
   = a * ( a – 5 – 5) + 5*5
   = a * ( a – 10) + 25
   
   Dari persamaan kelima ini, maka puluhan bilangan tersebut dikalikan dengan puluhan yang dikurangi dengan 10, atau “a*(a-10)”, kemudian ditambah 25.

   95^2 = 90*(90+10) + 25 = 90*100 + 25 = 9.000 + 25 = 9.025
   85^2 = 80*(80+10) + 25 = 80*90 + 25 = 7.200 + 25 = 7.225
   45^2 = 40*(40+10) + 25 = 40*50 + 25 = 2.000 + 25 = 2.025
   15^2 = 10*(10+10) + 25 = 10*20 + 25 = 200 + 25 = 22595^2 = 100*(100-10) + 25 = 100*90 + 25 = 9.000 + 25 = 9.025
   85^2 = 90*(90-10) + 25 = 90*80 + 25 = 7.200 + 25 = 7.225
   45^2 = 50*(50-10) + 25 = 50*40 + 25 = 2.000 + 25 = 2.025
   15^2 = 20*(20-10) + 25 = 20*10 + 25 = 200 + 25 = 225

    

    

Ringkasan:

1. Perhitungan praktis untuk perkalian angka belasan
   (a+b)*(a+c) = ( (a+b) + c ) * a + b*c
2. Perhitungan praktis untuk perkalian angka mendekati 100
   (a-b)*(a-c) = ( (a-b) – c ) * a + b*c
3. Perhitungan praktis untuk pengkuadratanangka mendekati 10
   (a+b)^2 = ( (a+b) + b ) * a + b*b
4. Perhitungan praktis untuk pengkuadratanangka mendekati 100
   (a-b)^2 = ( (a-b) – b ) * a + b*b
5. Perhitungan praktis untuk pengkuadratan dengan angka satuan 5
   (a+5)^2 = a * (a+10) + 25
   (a-5)^2 = a * (a-10) + 25
   

Demikian.